Teoria dos Jogos
Estudo matemático de situações em que o resultado de cada participante depende das escolhas de todos — conflito, cooperação e decisão estratégica.
1 Introdução
A teoria dos jogos (ou teoria de jogos) modela situações de interação estratégica: o ganho de cada agente depende não só de sua própria escolha, mas também das escolhas dos demais.
Embora consolidada na matemática aplicada e na economia, a disciplina é usada em:
O objetivo não é descrever jogos recreativos, mas representar formalmente situações reais — leilões, oligopólios, tratados nucleares, altruísmo evolutivo, leilões de anúncios online.
2 História
James Waldegrave propõe estratégia mista para o jogo Le Her — um dos primeiros antecedentes formais.
Antoine Augustin Cournot analisa competição entre empresas, antecipando raciocínio estratégico.
John von Neumann demonstra o teorema minimax para jogos finitos de duas pessoas e soma zero.
Publicação de Theory of Games and Economic Behavior (von Neumann & Morgenstern) — fundação da teoria moderna.
John Nash formula o equilíbrio de Nash para jogos não cooperativos com múltiplos jogadores.
Flood & Dresher criam o dilema do prisioneiro na RAND; Tucker formaliza com a história dos presos.
Reinhard Selten desenvolve o equilíbrio perfeito em subjogos para jogos dinâmicos.
Prêmio Nobel: Nash, Harsanyi e Selten — equilíbrios em jogos não cooperativos.
Prêmio Nobel: Aumann e Schelling — conflito, cooperação e jogos repetidos.
Robert Axelrod publica The Evolution of Cooperation — torneio do dilema do prisioneiro iterado.
3 Elementos Básicos
Todo jogo, no sentido matemático, envolve:
Agentes que tomam decisões — pessoas, empresas, Estados, genes, algoritmos.
Conjunto de ações disponíveis. Em jogos sequenciais, uma estratégia completa especifica o que fazer em cada ponto de decisão.
Resultados associados a cada combinação de estratégias — utilidade, lucro, anos de prisão, fitness evolutivo.
O que cada jogador sabe ao decidir — perfeita, imperfeita, completa ou incompleta.
Pressupostos comuns
- Racionalidade: jogadores maximizam seu próprio payoff.
- Conhecimento comum: todos sabem as regras e sabem que os outros também sabem.
- Antecipação: cada jogador modela o que os outros farão.
4 Representação dos Jogos
Forma Normal (matriz)
Adequada para jogos simultâneos. Linhas = estratégias do Jogador 1; colunas = estratégias do Jogador 2. Cada célula contém os payoffs (J1, J2).
| J2: Esquerda | J2: Direita | |
|---|---|---|
| J1: Cima | 4, 3 | −1, −1 |
| J1: Baixo | 0, 0 | 3, 4 |
Forma Extensiva (árvore)
Adequada para jogos sequenciais. Cada nó é um ponto de decisão; ramos são ações; folhas são payoffs finais. Permite modelar quem move primeiro, o que é observado e ameaças críveis.
5 Conceitos de Solução
Estratégia Dominante
Uma estratégia é dominante quando produz payoff ≥ que qualquer outra, independentemente do que os outros façam. Se for estritamente melhor em todos os casos, é estritamente dominante.
Melhor Resposta
A estratégia ótima dado o que os outros jogadores escolheram. Base para definir equilíbrio.
Equilíbrio de Nash
Um perfil de estratégias em que cada jogador escolhe sua melhor resposta às estratégias dos demais. Ninguém ganha mudando unilateralmente.
Importante: equilíbrio de Nash não implica resultado socialmente ótimo. Pode haver múltiplos equilíbrios ou nenhum em jogos específicos (em jogos finitos com estratégias mistas, sempre existe pelo menos um — teorema de Nash).
Teorema Minimax (von Neumann)
Para jogos de soma zero com dois jogadores: existe solução em estratégias mistas. Cada jogador maximiza seu ganho mínimo possível, assumindo que o adversário joga da pior forma possível para ele.
Equilíbrio Perfeito em Subjogos (Selten)
Refinamento para jogos dinâmicos. Exige equilíbrio de Nash em cada subjogo — elimina ameaças não críveis (que não seriam executadas se o ponto de decisão fosse alcançado).
Eficiência de Pareto
Um resultado é Pareto-eficiente se ninguém pode melhorar sem piorar outro. Contrasta com equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro tem equilíbrio Nash que não é Pareto-ótimo.
Valor de Shapley
Conceito de jogos cooperativos: distribui o valor de uma coalizão segundo a contribuição marginal esperada de cada membro.
6 Tipos de Jogos
Em jogos não cooperativos, acordos vinculantes não fazem parte do modelo — mas cooperação pode emergir em jogos repetidos.
Soma zero: ganho de um = perda do outro (xadrez, poker). Soma ≠ zero: interesses parcialmente alinhados (maioria dos jogos econômicos).
Simultâneo: escolhas ao mesmo tempo (pedra-papel-tesoura). Sequencial: um observa o outro antes de agir.
Perfeita: todos veem ações anteriores (xadrez). Imperfeita: não se vêem todas as ações. Incompleta: desconhece-se tipo ou preferências do adversário.
Jogos repetidos permitem punição, reputação e cooperação sustentada — mudam radicalmente os incentivos.
Estático: uma rodada. Dinâmico: múltiplas rodadas com memória e aprendizado.
7 Jogos Clássicos
Jogo da Galinha (Chicken)
Dois carros avançam um contra o outro. Desviar = covarde; seguir = herói se o outro desviar, morte se ambos seguem. Dois equilíbrios de Nash assimétricos — ninguém quer ser o que não desvia sozinho.
Batalha dos Sexos
Dois jogadores preferem estar juntos, mas discordam sobre a atividade. Dois equilíbrios de Nash — coordenação é o desafio.
Jogo do Ultimato
Um jogador divide R$ 100; o outro aceita ou rejeita (ambos ficam com zero). Teoria prevê aceitação de qualquer valor > 0; experimentos mostram rejeição de ofertas "injustas" (< 20–30%).
Pedra, Papel e Tesoura
Jogo de soma zero com equilíbrio em estratégias mistas: cada opção com probabilidade 1/3.
Modelo de Cournot
Empresas escolhem quantidades simultaneamente. Equilíbrio de Nash em quantidades — base da teoria de oligopólio.
8 Dilema do Prisioneiro
O exemplo mais famoso da teoria dos jogos. Dois suspeitos são interrogados separadamente:
- Ambos ficam em silêncio → 6 meses cada
- Um delata, outro cala → delator livre, silencioso 10 anos
- Ambos delatam → 5 anos cada
| B: Silêncio | B: Delata | |
|---|---|---|
| A: Silêncio | −6m, −6m | −10a, 0 |
| A: Delata | 0, −10a | −5a, −5a |
Condição formal do Dilema
Para qualquer matriz de payoffs, a estrutura do dilema exige:
T > R > P > S
- T (Tentação): ganho ao desertar enquanto o outro coopera
- R (Recompensa): ganho da cooperação mútua
- P (Punição): ganho da deserção mútua
- S (Sucker): ganho ao cooperar enquanto o outro deserta
Matriz canônica (pontos)
| Cooperar | Desertar | |
|---|---|---|
| Cooperar | 3, 3 | −5, 5 |
| Desertar | 5, −5 | −1, −1 |
Exemplos reais
- Corrida armamentista: ambos armam mais, embora acordo mútuo fosse melhor
- Cartéis: empresas têm incentivo individual a cortar preços
- Ciclismo: cooperar na liderança do pelotão vs. "carona" no vácuo
- Pleas bargains: incentivos estruturais à delação
- Poluição / tragédia dos comuns: exploração individual de recursos compartilhados
9 Jogos Iterados e Cooperação
Quando o dilema se repete indefinidamente (ou por tempo incerto), a sombra do futuro muda tudo: desertar hoje pode ser punido amanhã.
Tit for Tat (Olho por Olho)
Vencedora do torneio de Robert Axelrod (1984):
- Coopere na primeira rodada
- Depois, copie exatamente o que o oponente fez na rodada anterior
Propriedades de estratégias vencedoras (Axelrod)
Horizonte finito vs. infinito
Se o jogo tem exatamente N rodadas conhecidas, por indução reversa o equilíbrio de Nash é desertar sempre — na última rodada não há punição futura, então deserta-se; isso se propaga para trás. Com horizonte incerto ou infinito, cooperação pode ser estável.
Aplicação biológica (Dawkins / Maynard Smith)
Comportamentos como limpeza mútua entre pássaros, simbiose e altruísmo recíproco são modelados como dilemas do prisioneiro iterados. Genes que codificam estratégias estáveis (ESS — Evolutionarily Stable Strategy) prevalecem na população.
10 Aplicações Práticas
- Formação de preços em oligopólios
- Leilões e mecanismos de mercado
- Negociação salarial e sindical
- Dissuasão nuclear (Schelling)
- Corrida armamentista
- Coalizões e votação
- Negociação e contratos
- Entrada de concorrentes
- Estratégia de plataformas
- Seleção natural e ESS
- Comportamento animal
- Evolução da cooperação
- Leilões de anúncios (Google Ads)
- Segurança cibernética
- Multi-agent systems
- Relacionamentos e confiança
- Esportes e competição
- Decisões em grupo
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1. O que define um equilíbrio de Nash?
2. No dilema do prisioneiro clássico, qual é o equilíbrio de Nash?
3. Qual estratégia venceu o torneio de Axelrod?
4. Em jogos de soma zero, o ganho de um jogador...
5. A condição T > R > P > S define...
6. Equilíbrio de Nash e eficiência de Pareto...
📚 Fontes e Leituras
Fontes consultadas
- Wikipédia — Teoria dos jogos
- Wikipédia — Dilema do prisioneiro
- Wikipédia — Equilíbrio de Nash
- Khan Academy — Equilíbrio de Nash
- UFPR — Teoria dos Jogos (dissertação)
- PUC-Rio — O Teorema de Equilíbrio de Nash
Obras clássicas recomendadas
- von Neumann & Morgenstern — Theory of Games and Economic Behavior (1944)
- John Nash — artigos de 1950–1951 sobre equilíbrio
- Robert Axelrod — The Evolution of Cooperation (1984)
- Thomas Schelling — The Strategy of Conflict (1960)
- Drew Fudenberg & Jean Tirole — Game Theory (1991)
- Martin Osborne & Ariel Rubinstein — A Course in Game Theory (1994)
No seu acervo (Ebooks)
- Richard Dawkins — The Selfish Gene (capítulos sobre Prisoner's Dilemma, Tit for Tat e ESS)
- Steven D. Levitt — SuperFreakonomics (experimentos com Ultimatum e Prisoner's Dilemma)